การศึกษาเวกเตอร์ เมทริกซ์ และการแปลงเชิงเส้นครอบคลุมอยู่ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าพีชคณิตเชิงเส้น รวมถึงระบบการแก้สมการเชิงเส้น การจัดการและการแปลงข้อมูล
ตอนนี้เรามาดูองค์ประกอบทั้งหมดที่ประกอบด้วยพีชคณิตเชิงเส้น ตั้งแต่พื้นฐานที่สุดไปจนถึงองค์ประกอบที่ซับซ้อนที่สุด
- สเกลาร์— ตัวเลขเดี่ยว
- เวกเตอร์— อาร์เรย์ของตัวเลขแบบมิติเดียว
- เมทริกซ์— อาร์เรย์สองมิติของตัวเลข
- เทนเซอร์— มากกว่าอาร์เรย์สองมิติ
ขณะนี้มีการดำเนินการประเภทต่างๆ ที่เราสามารถทำได้กับองค์ประกอบที่กล่าวมาข้างต้น
- การบวกแบบปกติ
— ทำระหว่างเมทริกซ์/เวกเตอร์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป
— ขนาดของเมทริกซ์/เวกเตอร์ที่จะบวกควรเท่ากัน
- การออกอากาศ
— ดำเนินการระหว่างเมทริกซ์และเวกเตอร์
— จำนวนแถวในเมทริกซ์ควรเท่ากับจำนวนองค์ประกอบในเวกเตอร์
- การคูณปกติ
— ดำเนินการระหว่างเมทริกซ์สองตัวขึ้นไป
— จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกควรเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ที่สอง
- ผลิตภัณฑ์ Hadamard
— ทำระหว่างเมทริกซ์สองตัวขึ้นไป การคูณเมทริกซ์ตามองค์ประกอบ
— ขนาดของเมทริกซ์ควรเท่ากัน
- ย้าย
— เสร็จสิ้นสำหรับหนึ่งเมทริกซ์
- ผกผัน
— เสร็จสิ้นสำหรับหนึ่งเมทริกซ์
จนถึงตอนนี้เราได้พูดถึงองค์ประกอบที่มีอยู่ในพีชคณิตเชิงเส้นแล้ว ให้เรามาดูวิธีคำนวณขนาดและทิศทางขององค์ประกอบเหล่านี้กัน
- บรรทัดฐาน— ใช้เพื่อค้นหาขนาดของเวกเตอร์/เมทริกซ์
- Dot product — ใช้เพื่อค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์หนึ่ง ผลิตภัณฑ์ดอทเป็นสเกลาร์ที่สร้างโดยเวกเตอร์ที่มีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ยังสามารถแสดงโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อีกด้วย
- เวกเตอร์หน่วย — ใช้เพื่อแสดงทิศทางของเวกเตอร์ ขนาดของเวกเตอร์หน่วยจะเป็นหนึ่งเสมอ
หัวข้อสำคัญอีกหัวข้อหนึ่งในพีชคณิตเชิงเส้นคือความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ เซตของเวกเตอร์กล่าวได้ว่ามีความเป็นอิสระเชิงเส้น หากไม่มีเวกเตอร์ใดในชุดที่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตของเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น หากวิธีเดียวที่จะได้เวกเตอร์ศูนย์จากการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านั้นคือการตั้งค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้เป็นศูนย์
ด้วยเหตุนี้เราจึงมาถึงจุดสิ้นสุดของบล็อกนี้ ฉันหวังว่าบล็อกนี้จะทำให้คุณมีรากฐานที่มั่นคงในการต่อยอดและเป็นแรงบันดาลใจให้คุณสำรวจการประยุกต์ใช้พีชคณิตเชิงเส้นในรูปแบบต่างๆ
