ส่วนที่ 3 — ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับเครื่องมือลอจิกแบบสหวิทยาการ
ตอนนี้มีหลักการของทฤษฎีตรรกะและสัญกรณ์พื้นฐานแล้ว ถึงเวลาที่จะสำรวจแนวคิดของความเท่าเทียมกันในตรรกะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อะไรที่ทำให้สถานที่ประกอบสองแห่งเท่ากัน?
สถานที่ประกอบสองแห่ง X & Y นั้นเทียบเท่ากันทางตรรกะ ถ้าสำหรับแต่ละการกำหนดค่าความจริงให้กับสถานที่ดั้งเดิมซึ่งประกอบกันเป็น X & Y ข้อความ X & Y มีความจริงเหมือนกัน ค่านิยม
นั่นเป็นคำจำกัดความที่เข้าใจได้ยาก แต่การนำไปประยุกต์ใช้ของคำจำกัดความนี้ที่เราใส่ใจในการเรียนรู้ เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ เราจะอธิบายตัวอย่างต่างๆ ที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ก่อนอื่น เรามาอ้อมเพื่อเรียนรู้เพิ่มเติมอีกเล็กน้อยเกี่ยวกับเอ็กซ์คาลิเบอร์ของเราสำหรับการเดินทางครั้งนี้ ซึ่งเป็นหนึ่งในเครื่องมือที่เรียบง่ายที่สุดแต่ทรงพลังสำหรับนักตรรกวิทยาในการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันเชิงตรรกะ: ตารางความจริง
รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตารางความจริง
ตารางความจริงเป็นเครื่องมือที่มองเห็นได้ ในรูปแบบของแผนภาพที่มีแถวและคอลัมน์ ซึ่งแสดงความจริงหรือความเท็จของหลักฐานประกอบ เป็นวิธีการจัดระเบียบข้อมูลเพื่อแสดงรายการ สถานการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากสถานที่ที่จัดไว้ให้ เริ่มต้นด้วยตัวอย่างที่ง่ายที่สุด ตารางความจริงที่แสดงถึงการบิดเบือนหลักฐานเดียว: การปฏิเสธ (~) ของหลักฐานดั้งเดิม (P)
ตารางความจริงจะอ่านจากซ้ายไปขวาเสมอ โดยมีหลักฐานดั้งเดิมอยู่ที่คอลัมน์แรก ในตัวอย่างข้างต้น สถานที่ตั้งดั้งเดิมของเรา (P) อยู่ในคอลัมน์แรก ในขณะที่ หลักฐานผลลัพธ์ (~P)หลังการปฏิเสธ ประกอบขึ้นเป็นคอลัมน์ที่สอง
เป็นเรื่องง่ายที่จะคิดมากเกินไป อย่าลืมว่าหลักฐานเป็นเพียงข้อความที่ จริง หรือ เท็จ เนื่องจากตัวอย่างนี้มีเพียงหลักฐาน เดียว เราจึงต้องติดตามผลลัพธ์เพียงสองรายการเท่านั้น ส่งผลให้มีสองแถวว่าเมื่อ P เป็นจริงหรือเมื่อเป็นเท็จ แถวที่หนึ่งอธิบายโดยอ่านจากซ้ายไปขวาว่า ถ้า P เป็นจริง การปฏิเสธของ P จะเป็นเท็จ แถวที่สองแสดงว่าถ้า P เป็นเท็จอยู่แล้ว การปฏิเสธของ P จะเป็นจริง
เรามาดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นของตารางความจริงทั่วไปโดยการแทรกการเชื่อมโยงที่เราเคยเห็นก่อนหน้านี้: ความหมาย (-›) เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น เราจะกำหนดบริบทของข้อความ P & Q ก่อนที่จะสร้างตารางความจริงของเรา:
ป: ธานอสดีดนิ้ว
ถาม: 50% ของสิ่งมีชีวิตทั้งหมดหายไป
ก่อนที่จะดูด้านล่าง ให้คิดตามโครงสร้างนี้ตามรายละเอียดข้างต้น ประการแรก เนื่องจากเรามีสถานที่ดั้งเดิมสองแห่ง (P ,Q) เราจึงรู้ว่าเราต้องการอย่างน้อยสองคอลัมน์ อย่างน้อย นอกจากนี้ เราควรเตรียมหลักฐานเชิงผลลัพธ์ที่เชื่อมโยงโดยนัย (P -› Q) ซึ่งจะต้องใช้คอลัมน์อื่น รวม สามคอลัมน์
แล้วแถวล่ะ? เนื่องจากเรามีสถานที่สองแห่งที่สามารถเป็นจริงหรือเท็จได้ เพื่อพิจารณาสถานการณ์ที่เป็นไปได้ ทั้งหมด เราจึงจำเป็นต้องมีทั้งหมด สี่แถว (ป.ล. ข้อพิสูจน์ที่ชัดเจนสามารถได้มาจากข้อสังเกตนี้: ตารางความจริงที่อธิบายสถานที่ N ต้องใช้แถว N²) ตอนนี้เรามาวาดตารางนี้ออกมาและตรวจสอบให้แน่ใจว่าเข้าใจได้:
ทบทวนตารางความจริงด้านบนทีละแถว แถวแรกยืนยันว่าธานอสดีดนิ้ว (P) และสิ่งมีชีวิต 50% หายไป (Q) เนื่องจากทั้งสองสถานที่ถือเป็นจริง ดังนั้นหลักฐานที่เป็นผลลัพธ์ (โดยนัยหรือเงื่อนไข) ก็เป็นจริงเช่นกัน:
แถวที่สองมีความเข้าใจโดยตรงเท่าเทียมกัน ครั้งนี้ P ยังคงเป็นจริง แต่ Q ในตอนนี้ เป็นเท็จ การตีความที่นี่คือ “ธานอสดีดนิ้ว แต่ 50% ของสิ่งมีชีวิตทั้งหมด ไม่ หายไป” เนื่องจากเราต้องการพิสูจน์ความถูกต้องของความหมาย จึงสมเหตุสมผลที่ข้อความก่อนหน้านี้ทำให้สมมติฐานโดยรวมเป็นเท็จอย่างแจ่มแจ้ง:
สองแถวสุดท้ายนั้นขัดกับสัญชาตญาณมากกว่าเล็กน้อย มีทางลัดอยู่ที่นี่: เราเพียงแค่ต้องดูที่คอลัมน์แรกเพื่อลงทะเบียนว่าความหมายนั้นเป็นจริง ในทั้งสองแถวที่สามและสี่ หลักฐานก่อนหน้า (P) คือ เท็จ —ซึ่งเป็นทั้งหมดที่เราจำเป็นต้องรู้ โดยไม่คำนึงถึงค่าของหลักฐาน Q เพื่อที่จะกำหนดนัยที่ จริง .
เหตุใดสิ่งที่มาก่อนที่เป็นเท็จจึงนำไปสู่ความหมายที่แท้จริงเสมอ? เนื่องจากในจักรวาลของข้อความเชิงตรรกะของเรา เนื่องจากเหตุการณ์ก่อนหน้าไม่ได้เกิดขึ้น จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกำจัดสถานการณ์ที่เป็นไปได้ ทั้งหมด ที่อาจก่อให้เกิดคำถาม ตัวอย่างเช่น แถวที่ 3 บอกว่า “ธานอส ทำ ไม่ดีดนิ้วของเขาเลย 50% ของสิ่งมีชีวิตทั้งหมดก็หายไป” ยังไงก็ตาม เท่าที่เรารู้ว่าอุกกาบาต ภัยพิบัติทางธรรมชาติ การรุกรานของเอเลี่ยน หรือกิจกรรมอื่นๆ มากมายที่อาจทำให้เกิดการสูญพันธุ์นั้น ในสถานการณ์ ใดๆ เหล่านั้น ไม่ว่าจะในสถานการณ์ใดก็ตาม ความหมายยังคงเป็นจริงเพราะ เรายังพิสูจน์ไม่ได้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเขาดีดนิ้ว
สู่การพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน
ตารางความจริงเป็นไดอะแกรมการติดตามลอจิกที่ใช้งานง่ายซึ่งไม่เพียงแสดงเฉพาะในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ วิศวกรรมไฟฟ้า และปรัชญาด้วย สัญลักษณ์อาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับอุตสาหกรรมที่คุณมีส่วนร่วม แต่แนวคิดพื้นฐานจะเหมือนกัน พวกมันเป็นเครื่องมืออเนกประสงค์และสหวิทยาการ แต่เราเพิ่งจะมองข้ามประโยชน์ใช้สอยของมันเท่านั้น
ขณะนี้มีตารางความจริงแล้ว ถึงเวลาที่จะเติบโตไปสู่การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันระหว่างสถานที่ประกอบหลายแห่ง ในบทความถัดไปในชุดนี้ เราจะใช้ประโยชน์จากความรู้ในการประนอมเพื่อพิสูจน์ว่าสถานที่ประกอบสองแห่งที่แตกต่างกัน เช่น ความหมายโดยนัยและผลบวกที่ตรงกันข้าม มีความเท่าเทียมกัน
เผยแพร่ครั้งแรกเมื่อ
แหล่งที่มา
