การประมาณค่า π โดยใช้เรขาคณิต ความน่าจะเป็น และ C#

แม้ว่าค่า π ที่แม่นยำที่สุดจะอยู่ที่ "62.8 ล้านล้าน" หลัก (และจริงๆ แล้วมีชายคนหนึ่งที่จำค่าเหล่านี้ได้ 111,700 หลัก) เราจะทำให้มันเรียบง่ายและคำนวณเพียง 15 หลักเท่านั้น

π เป็นอักษรตัวแรกของคำภาษากรีก περίμετρος ซึ่งแปลว่าเส้นรอบวง มันเป็นจำนวนอตรรกยะ เราจึงต้องประมาณค่ามัน

ขั้นแรก เราจะใช้เรขาคณิต: เราจะคำนวณการประมาณโดยใช้เฉพาะทฤษฎีบทพีทาโกรัสเท่านั้น จากนั้น เราจะเห็นวิธี อาร์คิมีดีส' โดยใช้เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมเป็นขอบเขตบนและล่างสำหรับ π และสุดท้าย เราจะเห็นอีกสองวิธีที่น่าสนใจที่ใช้ความน่าจะเป็น ได้แก่ มอนติคาร์โลและการเดินแบบสุ่ม

เอาล่ะ.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เราเริ่มต้นด้วยแนวทางง่ายๆ หากต้องการหาขอบเขตล่างสำหรับ π เราจะคำนวณเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ล้อมรอบด้วยวงกลม เมื่อเราเพิ่มจำนวนด้าน (n) เส้นรอบวงจะทำให้เราประมาณค่าเส้นรอบวงได้ดีขึ้น

จุดเริ่มต้นของเราคือ 6 ด้าน และเราคูณจำนวนด้านด้วย 2 ในแต่ละขั้นตอน: เรา "แยก" แต่ละด้าน (หรือมุม) ตรงจุดกึ่งกลาง สร้างรูปหลายเหลี่ยมถัดไปด้วยจำนวนด้าน (เท่ากัน) สองเท่า และด้วยเหตุนี้ เข้าใกล้เส้นรอบวงของวงกลมมากขึ้น — ซึ่งก็คือ 2π ในกรณีของเรา (R = 1)

ในการคำนวณด้านของรูปหลายเหลี่ยมถัดไป เราใช้เฉพาะทฤษฎีบทพีทาโกรัส สองครั้ง: เราคำนวณความสูง (h) แล้วตามด้วยความยาวขอบ

ฉันวาดภาพนี้เพื่อให้กระบวนการชัดเจน:

ในตอนแรก สำหรับรูปหกเหลี่ยม ค่าประมาณของ π ของเราคือ 6/2 = 3

หลังจากการวนซ้ำ 11 ครั้ง เราจะได้รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 12,288 ด้าน และได้ 7 หลัก แรกของ π ทางขวา หลังจากการวนซ้ำ 24 ครั้ง (100,663,296 ข้าง) เราได้ 15 ข้างถูก

ต่อไปเราจะใช้รูปหลายเหลี่ยมสองรูป

วิธีการของอาร์คิมีดีส

อาร์คิมิดีส (287–212 ปีก่อนคริสตกาล) คำนวณขอบเขตบนและล่างสำหรับ π โดยใช้ข้อเท็จจริงนี้: เส้นรอบวงอยู่ระหว่างเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมทั้งภายในและภายนอกวงกลม

เมื่อจำนวนด้าน (n) เพิ่มขึ้น เส้นรอบวงเหล่านี้จะสร้างลำดับซึ่งมีการเพิ่มขึ้นและลดลงแบบโมโนโทนิกเข้าหา π

อาร์คิมีดีสเริ่มต้นด้วย 6 ด้าน และต่อด้วย 12, 24, 48 และ 96 ด้าน การประมาณการครั้งสุดท้ายของเขาพบได้ในข้อเสนอที่สามในบทความ การวัดวงกลม:

ที่น่าสนใจคือเขาไม่ได้เรียกมันว่า π สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้ในปี 1706 โดยวิลเลียม โจนส์ นักเขียนชาวอังกฤษ ในหนังสือของเขา a New Introduction to the Mathematics

การคำนวณของเราเริ่มต้นด้วยรูปหกเหลี่ยม: รูปหกเหลี่ยมด้านในมีเส้นรอบรูป 6 และด้านนอก 4√3 (R = 1) เรากำหนด pₙและ Pₙเป็นเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมด้านในและด้านนอกด้วย n ด้านข้าง จากนั้นเราก็ใช้ต่อไป:

แน่นอนว่าอัตราการบรรจบกันนั้นเหมือนกับแนวทางแรก

ทีนี้มาดูความน่าจะเป็นกันดีกว่า วิธีถัดไปจะไม่ให้ค่าประมาณที่แม่นยำสูงแก่เรา (ขีดจำกัดเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็น) และมีไว้เพื่อความสนุกสนานเท่านั้น

เดินสุ่ม

ลองจินตนาการถึงการเดินสุ่ม โดยแต่ละก้าวมีความน่าจะเป็นเท่ากันที่จะเดินหน้า (+1) หรือถอยหลัง (-1) หากเราเริ่มต้นที่ตำแหน่ง 0 หลังจาก n ก้าวไปจบลงที่ใด ตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง การแจกแจงความน่าจะเป็นจะใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติ

หากเราดูค่าสัมบูรณ์ของระยะทางเหล่านี้ เราอาจคาดหวังว่าการแจกแจงของมันจะค่อนข้างคล้ายกับค่าการแจกแจงแบบครึ่งปกติ ซึ่งมีการกำหนดไว้ดังนี้ ถ้า X ตามการแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ แล้ว Y=|X| เป็นไปตามการแจกแจงแบบครึ่งปกติ ความคาดหวังของ Y ได้รับจาก:

อย่างเป็นทางการกว่านั้น การเดินแบบสุ่มด้วย n ขั้นเป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม เริ่มต้นที่ 0 โดยมีการเพิ่มทีละขั้นอย่างเป็นอิสระ X₁, X₂,…Xₙ มากำหนดลำดับ {Xₜ} กัน โดยที่:

ง่ายที่จะเห็นว่า E[Xₜ] = 0 และ Var[Xₜ] = 1

ตอนนี้เรากำหนด Sₙ = X₁ + … + Xₙ ซึ่งเป็นเวกเตอร์ระยะห่างจากจุดกำเนิดหลังจาก n ขั้นตอน เราต้องการดูที่ |Sₙ| เราใช้บทแทรกต่อไปนี้:

รหัส:

ตัวอย่างเช่น ด้วยการพยายาม 3 ครั้งในการวนซ้ำ 10,000 ครั้งและ 100 ขั้นตอน เราจะได้ค่าประมาณต่อไปนี้: 3.135, 3.211, 3.142

มอนติคาร์โล

พิจารณาวงกลมที่มีรัศมี R ซึ่งล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวขอบ a หากเราเลือกจุดสุ่ม n ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ เราสามารถคาดหวังได้อย่างสมเหตุสมผลว่าอัตราส่วนต่อไปนี้: จำนวนจุดที่อยู่ภายในวงกลมหารด้วย n จะใกล้เคียงกับ อัตราส่วนของพื้นที่: πR²/a²

ตามกฎของจำนวนจำนวนมากและทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง เราคาดหวังว่าค่าประมาณของเราจะ "ลดลง" ในส่วนเล็กๆ รอบอัตราส่วนจริงเมื่อเราเพิ่ม n

เพื่อความง่าย เราเลือก R=1, a=2 และพิจารณาเฉพาะจตุภาคแรกเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น เมื่อพยายาม 3 ครั้งในการวนซ้ำ 500,000 ครั้ง เราจะได้ค่าประมาณดังนี้: 3.143, 3.142, 3.143

ลิงค์: