Bagian III — Pengantar Alat Logika Interdisipliner
Sekarang sudah dilengkapi dengan prinsip-prinsip teori logika dan notasi dasar, saatnya mendalami konsep ekivalensi dalam logika. Secara khusus, apa yang membuat dua premis majemuk sama?
Dua premis majemuk X & Y adalah ekuivalen secara logis jika, untuk setiap pemberian nilai kebenaran pada premis primitif yang membentuk X & Y, pernyataan X & Y mempunyai kebenaran yang identik nilai-nilai.
Definisi tersebut sulit untuk dipahami, namun penerapan definisi inilah yang perlu kita pelajari. Untuk mencapai hal ini, kita akan membahas beberapa contoh yang semakin rumit. Namun pertama-tama, mari kita mengambil jalan memutar untuk mempelajari lebih lanjut tentang Excalibur dalam perjalanan ini — salah satu alat paling sederhana namun ampuh bagi ahli logika untuk membuktikan kesetaraan logis: tabel kebenaran.
Pengantar Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran adalah alat visual berupa diagram dengan baris & kolom yang menunjukkan benar atau salahnya suatu premis majemuk. Ini adalah cara mengatur informasi untuk mencantumkan semua kemungkinan skenario dari tempat yang disediakan. Mari kita mulai dengan contoh paling sederhana, tabel kebenaran yang menggambarkan manipulasi premis tunggal: negasi (~) dari premis primitif (P)
Tabel kebenaran selalu dibaca dari kiri ke kanan, dengan premis primitif di kolom pertama. Pada contoh di atas, premis primitif kita (P) ada di kolom pertama; sedangkan premis hasil (~P),pasca-negasi, membentuk kolom dua.
Sangat mudah untuk memikirkan hal-hal secara berlebihan di sini — jangan lupa bahwa premis hanyalah sebuah pernyataan yang benar atau salah. Karena contoh ini hanya memiliki premis tunggal, kita hanya perlu melacak dua hasil; menghasilkan dua baris ketika P benar atau salah. Baris pertama menjelaskan, dibaca dari kiri ke kanan, bahwa jika P benar, maka negasi dari P salah; baris kedua menampilkan bahwa jika P sudah salah, maka negasi dari P benar.
Mari beralih ke contoh tabel kebenaran yang lebih rumit dengan menyisipkan kata penghubung yang telah kita lihat sebelumnya: implikasi (-›). Agar hal ini lebih mudah dicerna, mari kita berikan P&Q pernyataan kita beberapa konteks sebelum menyusun tabel kebenaran kita:
P: Thanos menjentikkan jarinya
T: 50% dari semua makhluk hidup menghilang
Sebelum melihat ke bawah, pikirkan baik-baik struktur ini dengan mempertimbangkan detail di atas. Pertama, karena kita mempunyai dua premis primitif (P ,Q), kita memerlukan setidaknya dua kolom; selain itu, kita harus menyiapkan premis yang dihasilkan dengan kata penghubung implikasi (P -› Q), yang akan memerlukan kolom lain. Total tiga kolom.
Bagaimana dengan baris? Karena kita mempunyai dua premis yang masing-masing bisa benar atau salah, untuk memperhitungkan semua skenario yang mungkin, kita memerlukan total empatbaris (P.S — akibat wajar yang menarik dapat diperoleh dari pengamatan ini: tabel kebenaran yang mencakup N premis memerlukan N² baris). Sekarang mari kita gambarkan tabel ini & pastikan tabelnya dapat dimengerti:
Tinjau tabel kebenaran di atas baris demi baris. Baris pertama menegaskan bahwa Thanos menjentikkan jarinya (P) & 50% makhluk hidup menghilang (Q). Karena kedua premis tersebut benar, maka premis yang dihasilkan (implikasi atau kondisinya) juga benar:
Baris kedua sama-sama langsung dalam pemahaman. Kali ini, P masih benar, namun Q sekarang salah. Penafsirannya di sini adalah “Thanos menjentikkan jarinya, tetapi 50% makhluk hidup tidak tidak menghilang.” Karena kami bermaksud membuktikan keabsahan implikasinya, masuk akal jika pernyataan sebelumnya menjadikan keseluruhan premis sebagai salah:
Dua baris terakhir sedikit lebih kontra-intuitif. Ada jalan pintasnya di sini: kita hanya perlu melihat kolom pertama untuk mengetahui bahwa implikasinya benar. Di kedua baris tiga & empat, premis pendahulunya (P) adalah salah —yang perlu kita ketahui, terlepas dari nilai premis Q, untuk menentukan implikasinya sebagai benar .
Mengapa anteseden yang salah selalu menimbulkan implikasi yang sebenarnya? Karena di alam semesta pernyataan logis kita, karena antesedennya belum terjadi, mustahil untuk menghilangkan semua skenario yang mungkin menyebabkan Q. Misalnya, baris 3 mengatakan bahwa “Thanos melakukannya tidakmenjentikannamun 50% makhluk hidup lenyap”. Kita tahu bahwa meteor, bencana alam, invasi alien, atau berbagai aktivitas lainnya mungkin telah menyebabkan kepunahan tersebut — dalam salah satu skenario tersebut, apa pun skenarionya, implikasinya tetap berlaku karena kita masih belum bisa membuktikan apa yang terjadi jika dia menjentikkan jarinya.
Ke Pembuktian Kesetaraan
Tabel kebenaran adalah diagram pelacakan logika yang apik dan praktis yang muncul tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam ilmu komputer, teknik elektro & filsafat. Notasinya mungkin berbeda-beda bergantung pada industri apa yang Anda geluti, namun konsep dasarnya sama. Mereka adalah alat yang serba guna dan bersifat interdisipliner — namun kita hanya membahas kegunaannya di permukaan saja.
Kini dilengkapi dengan tabel kebenaran, saatnya berkembang menuju pembuktian kesetaraan antara beberapa premis majemuk. Pada artikel berikutnya dalam seri ini, "kita akan memanfaatkan pengetahuan gabungan kita untuk membuktikan bahwa dua premis gabungan yang berbeda, seperti implikasi & kontra-positif, adalah sama."
awalnya diterbitkan pada
sumber
