Bagaimana cara menerapkan backpropagation dengan benar untuk pembelajaran mesin pada kumpulan data MNIST?

Jadi, saya menggunakan buku pembelajaran mesin Michael Nielson sebagai referensi untuk kode saya (pada dasarnya identik): http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap1.html

Kode yang dimaksud:

    def backpropagate(self, image, image_value) :


        # declare two new numpy arrays for the updated weights & biases
        new_biases = [np.zeros(bias.shape) for bias in self.biases]
        new_weights = [np.zeros(weight_matrix.shape) for weight_matrix in self.weights]

        # -------- feed forward --------
        # store all the activations in a list
        activations = [image]

        # declare empty list that will contain all the z vectors
        zs = []
        for bias, weight in zip(self.biases, self.weights) :
            print(bias.shape)
            print(weight.shape)
            print(image.shape)
            z = np.dot(weight, image) + bias
            zs.append(z)
            activation = sigmoid(z)
            activations.append(activation)

        # -------- backward pass --------
        # transpose() returns the numpy array with the rows as columns and columns as rows
        delta = self.cost_derivative(activations[-1], image_value) * sigmoid_prime(zs[-1])
        new_biases[-1] = delta
        new_weights[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())

        # l = 1 means the last layer of neurons, l = 2 is the second-last, etc.
        # this takes advantage of Python's ability to use negative indices in lists
        for l in range(2, self.num_layers) :
            z = zs[-1]
            sp = sigmoid_prime(z)
            delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
            new_biases[-l] = delta
            new_weights[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
        return (new_biases, new_weights)

Algoritme saya hanya dapat mencapai backpropagation putaran pertama sebelum kesalahan ini terjadi:

  File "D:/Programming/Python/DPUDS/DPUDS_Projects/Fall_2017/MNIST/network.py", line 97, in stochastic_gradient_descent
    self.update_mini_batch(mini_batch, learning_rate)
  File "D:/Programming/Python/DPUDS/DPUDS_Projects/Fall_2017/MNIST/network.py", line 117, in update_mini_batch
    delta_biases, delta_weights = self.backpropagate(image, image_value)
  File "D:/Programming/Python/DPUDS/DPUDS_Projects/Fall_2017/MNIST/network.py", line 160, in backpropagate
    z = np.dot(weight, activation) + bias
ValueError: shapes (30,50000) and (784,1) not aligned: 50000 (dim 1) != 784 (dim 0)

Saya mengerti mengapa ini merupakan kesalahan. Jumlah kolom pada bobot tidak sesuai dengan jumlah baris pada gambar piksel, sehingga saya tidak dapat melakukan perkalian matriks. Di sinilah saya bingung -- ada 30 neuron yang digunakan dalam propagasi mundur, masing-masing dengan 50.000 gambar sedang dievaluasi. Pemahaman saya adalah bahwa masing-masing dari 50.000 harus memiliki 784 bobot, satu untuk setiap piksel. Tetapi ketika saya mengubah kodenya:

        count = 0
        for bias, weight in zip(self.biases, self.weights) :
            print(bias.shape)
            print(weight[count].shape)
            print(image.shape)
            z = np.dot(weight[count], image) + bias
            zs.append(z)
            activation = sigmoid(z)
            activations.append(activation)
            count += 1

Saya masih mendapatkan kesalahan serupa:

ValueError: shapes (50000,) and (784,1) not aligned: 50000 (dim 0) != 784 (dim 0)

Saya benar-benar bingung dengan semua aljabar linier yang terlibat dan saya rasa saya melewatkan sesuatu tentang struktur matriks bobot. Bantuan apa pun akan sangat dihargai.


person Eli    schedule 20.10.2017    source sumber


Jawaban (2)


Sepertinya masalahnya ada pada perubahan Anda pada kode asli.

Saya telah mengunduh contoh dari tautan yang Anda berikan dan berfungsi tanpa kesalahan apa pun: masukkan deskripsi gambar di sini

Berikut ini kode sumber lengkap yang saya gunakan:

import cPickle
import gzip
import numpy as np
import random

def load_data():
    """Return the MNIST data as a tuple containing the training data,
    the validation data, and the test data.
    The ``training_data`` is returned as a tuple with two entries.
    The first entry contains the actual training images.  This is a
    numpy ndarray with 50,000 entries.  Each entry is, in turn, a
    numpy ndarray with 784 values, representing the 28 * 28 = 784
    pixels in a single MNIST image.
    The second entry in the ``training_data`` tuple is a numpy ndarray
    containing 50,000 entries.  Those entries are just the digit
    values (0...9) for the corresponding images contained in the first
    entry of the tuple.
    The ``validation_data`` and ``test_data`` are similar, except
    each contains only 10,000 images.
    This is a nice data format, but for use in neural networks it's
    helpful to modify the format of the ``training_data`` a little.
    That's done in the wrapper function ``load_data_wrapper()``, see
    below.
    """
    f = gzip.open('../data/mnist.pkl.gz', 'rb')
    training_data, validation_data, test_data = cPickle.load(f)
    f.close()
    return (training_data, validation_data, test_data)

def load_data_wrapper():
    """Return a tuple containing ``(training_data, validation_data,
    test_data)``. Based on ``load_data``, but the format is more
    convenient for use in our implementation of neural networks.
    In particular, ``training_data`` is a list containing 50,000
    2-tuples ``(x, y)``.  ``x`` is a 784-dimensional numpy.ndarray
    containing the input image.  ``y`` is a 10-dimensional
    numpy.ndarray representing the unit vector corresponding to the
    correct digit for ``x``.
    ``validation_data`` and ``test_data`` are lists containing 10,000
    2-tuples ``(x, y)``.  In each case, ``x`` is a 784-dimensional
    numpy.ndarry containing the input image, and ``y`` is the
    corresponding classification, i.e., the digit values (integers)
    corresponding to ``x``.
    Obviously, this means we're using slightly different formats for
    the training data and the validation / test data.  These formats
    turn out to be the most convenient for use in our neural network
    code."""
    tr_d, va_d, te_d = load_data()
    training_inputs = [np.reshape(x, (784, 1)) for x in tr_d[0]]
    training_results = [vectorized_result(y) for y in tr_d[1]]
    training_data = zip(training_inputs, training_results)
    validation_inputs = [np.reshape(x, (784, 1)) for x in va_d[0]]
    validation_data = zip(validation_inputs, va_d[1])
    test_inputs = [np.reshape(x, (784, 1)) for x in te_d[0]]
    test_data = zip(test_inputs, te_d[1])
    return (training_data, validation_data, test_data)

def vectorized_result(j):
    """Return a 10-dimensional unit vector with a 1.0 in the jth
    position and zeroes elsewhere.  This is used to convert a digit
    (0...9) into a corresponding desired output from the neural
    network."""
    e = np.zeros((10, 1))
    e[j] = 1.0
    return e

class Network(object):

    def __init__(self, sizes):
        """The list ``sizes`` contains the number of neurons in the
        respective layers of the network.  For example, if the list
        was [2, 3, 1] then it would be a three-layer network, with the
        first layer containing 2 neurons, the second layer 3 neurons,
        and the third layer 1 neuron.  The biases and weights for the
        network are initialized randomly, using a Gaussian
        distribution with mean 0, and variance 1.  Note that the first
        layer is assumed to be an input layer, and by convention we
        won't set any biases for those neurons, since biases are only
        ever used in computing the outputs from later layers."""
        self.num_layers = len(sizes)
        self.sizes = sizes
        self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
        self.weights = [np.random.randn(y, x)
                        for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

    def feedforward(self, a):
        """Return the output of the network if ``a`` is input."""
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            a = sigmoid(np.dot(w, a)+b)
        return a

    def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta,
            test_data=None):
        """Train the neural network using mini-batch stochastic
        gradient descent.  The ``training_data`` is a list of tuples
        ``(x, y)`` representing the training inputs and the desired
        outputs.  The other non-optional parameters are
        self-explanatory.  If ``test_data`` is provided then the
        network will be evaluated against the test data after each
        epoch, and partial progress printed out.  This is useful for
        tracking progress, but slows things down substantially."""
        if test_data: n_test = len(test_data)
        n = len(training_data)
        for j in xrange(epochs):
            random.shuffle(training_data)
            mini_batches = [
                training_data[k:k+mini_batch_size]
                for k in xrange(0, n, mini_batch_size)]
            for mini_batch in mini_batches:
                self.update_mini_batch(mini_batch, eta)
            if test_data:
                print "Epoch {0}: {1} / {2}".format(
                    j, self.evaluate(test_data), n_test)
            else:
                print "Epoch {0} complete".format(j)

    def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):
        """Update the network's weights and biases by applying
        gradient descent using backpropagation to a single mini batch.
        The ``mini_batch`` is a list of tuples ``(x, y)``, and ``eta``
        is the learning rate."""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        for x, y in mini_batch:
            delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)
            nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]
            nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]
        self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw
                        for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]
        self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb
                       for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

    def backprop(self, x, y):
        """Return a tuple ``(nabla_b, nabla_w)`` representing the
        gradient for the cost function C_x.  ``nabla_b`` and
        ``nabla_w`` are layer-by-layer lists of numpy arrays, similar
        to ``self.biases`` and ``self.weights``."""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        # feedforward
        activation = x
        activations = [x] # list to store all the activations, layer by layer
        zs = [] # list to store all the z vectors, layer by layer
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            z = np.dot(w, activation)+b
            zs.append(z)
            activation = sigmoid(z)
            activations.append(activation)
        # backward pass
        delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
            sigmoid_prime(zs[-1])
        nabla_b[-1] = delta
        nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
        # Note that the variable l in the loop below is used a little
        # differently to the notation in Chapter 2 of the book.  Here,
        # l = 1 means the last layer of neurons, l = 2 is the
        # second-last layer, and so on.  It's a renumbering of the
        # scheme in the book, used here to take advantage of the fact
        # that Python can use negative indices in lists.
        for l in xrange(2, self.num_layers):
            z = zs[-l]
            sp = sigmoid_prime(z)
            delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
            nabla_b[-l] = delta
            nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
        return (nabla_b, nabla_w)

    def evaluate(self, test_data):
        """Return the number of test inputs for which the neural
        network outputs the correct result. Note that the neural
        network's output is assumed to be the index of whichever
        neuron in the final layer has the highest activation."""
        test_results = [(np.argmax(self.feedforward(x)), y)
                        for (x, y) in test_data]
        return sum(int(x == y) for (x, y) in test_results)

    def cost_derivative(self, output_activations, y):
        """Return the vector of partial derivatives \partial C_x /
        \partial a for the output activations."""
        return (output_activations-y)

#### Miscellaneous functions
def sigmoid(z):
    """The sigmoid function."""
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

def sigmoid_prime(z):
    """Derivative of the sigmoid function."""
    return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))

training_data, validation_data, test_data = load_data_wrapper()
net = Network([784, 30, 10])
net.SGD(training_data, 30, 10, 3.0, test_data=test_data)

Info tambahan:

Namun, saya akan merekomendasikan menggunakan salah satu kerangka kerja yang ada, misalnya - Keras agar tidak menemukan kembali roda

Juga, itu diperiksa dengan python 3.6: masukkan deskripsi gambar di sini

person Stepan Novikov    schedule 21.10.2017
comment
Terima kasih. Selain itu, satu-satunya alasan saya mencoba membuat kode ini berfungsi adalah karena saya mencoba memahami mekanisme sebenarnya di balik jaringan saraf dan melihat mengapa kode ini berfungsi sebagaimana mestinya. Saya juga harus bisa menjelaskannya kepada klub ilmu data tempat saya menjadi bagiannya. Setelah ini berfungsi, saya akan beralih ke kerangka kerja yang ada, mungkin tensorflow. - person Eli; 22.10.2017
comment
Oke, jadi saya memeriksa kodenya lagi dan semuanya tetap sama selain mengubah nama variabel dan memperbarui kompatibilitas untuk Python 3 (kode Anda adalah Python 2). Masih mendapatkan kesalahan ini:\n delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp ValueError: operan tidak dapat disiarkan bersama dengan bentuk (30,1) (10,1 ) Maukah Anda memeriksa kode saya dan melihat apakah saya melewatkan sesuatu yang tidak terlalu jelas? Repo: github.com/elijahanderson/DPUDS_Projects/tree/master/Fall_2017/ - person Eli; 22.10.2017
comment
@Eli: Saya memeriksa kode dari tautan dan berfungsi dengan benar, setidaknya di lingkungan saya dengan python 2.7. Setelah itu saya memeriksa kode dengan python 3.6 (silakan lihat tangkapan layar ditambahkan ke jawaban saya) - berfungsi dengan baik juga. Saya tidak yakin apa sebenarnya yang menyebabkan kesalahan yang Anda sebutkan di lingkungan Anda, mungkin versi beberapa paket yang salah atau kesalahan konfigurasi. Bisakah Anda mencoba memutakhirkan atau menginstal ulang paket gelisah Anda? Jika tidak membantu, saya sarankan menginstal ulang lingkungan python Anda dengan semua paket - person Stepan Novikov; 23.10.2017
comment
Sangat aneh! Terima kasih telah melakukan itu Stepan. Saya akhirnya hanya mengulang proyek tersebut (tidak sulit, kebanyakan hanya copy paste) dan berhasil dengan sempurna. Jika saya melakukan sesuatu yang berbeda dari pertama kali maka saya tidak menyadarinya. Sangat aneh. - person Eli; 25.10.2017
comment
@StepanNovikov kode ini tidak berfungsi dengan Python3.5 di mesin saya. - person flamelite; 13.12.2017
comment
@flamelite Ini aneh, karena ini berfungsi untuk saya dengan Python 3.6. Bisakah Anda memberikan informasi lebih lanjut tentang kesalahan Anda, sehingga saya dapat memeriksanya? - person Stepan Novikov; 13.12.2017
comment
Mendapat masalah, saya membuat beberapa perubahan untuk memuat data di Python3, mengubah training_data = list(zip(training_inputs, training_results) karena di Python 3.x, zip mengembalikan objek generator) dan setelah itu saya mencetak training_data, yang tidak memberikan kesalahan apa pun tetapi penerjemah saya terhenti di baris print(). - person flamelite; 14.12.2017

Terima kasih telah menggali kode Nielsen. Ini adalah sumber yang bagus untuk mengembangkan pemahaman menyeluruh tentang prinsip-prinsip NN. Terlalu banyak orang yang melompat ke Keras tanpa mengetahui apa yang terjadi di baliknya.

Setiap contoh pelatihan tidak memiliki bobotnya sendiri. Masing-masing dari 784 fitur memilikinya. Jika setiap contoh memiliki bobotnya masing-masing, maka setiap rangkaian bobot akan disesuaikan dengan contoh pelatihan yang sesuai. Selain itu, jika nanti Anda menggunakan jaringan terlatih untuk menjalankan inferensi pada satu contoh pengujian, apa yang akan dilakukan jaringan tersebut dengan 50.000 set bobot jika disajikan hanya dengan satu digit tulisan tangan? Sebaliknya, masing-masing dari 30 neuron di lapisan tersembunyi Anda mempelajari sekumpulan 784 bobot, satu untuk setiap piksel, yang menawarkan akurasi prediksi tinggi ketika digeneralisasikan ke digit tulisan tangan mana pun.

Impor network.py dan buat instance kelas Jaringan seperti ini tanpa mengubah kode apa pun:

net = network.Network([784, 30, 10])

..yang memberi Anda jaringan dengan 784 neuron masukan, 30 neuron tersembunyi, dan 10 neuron keluaran. Matriks bobot Anda masing-masing akan memiliki dimensi [30, 784] dan [10, 30]. Saat Anda memasukkan array input berdimensi [784, 1] ke jaringan, perkalian matriks yang menghasilkan kesalahan adalah valid karena dim 1 dari matriks bobot sama dengan dim 0 dari array input (keduanya 784).

Masalah Anda bukanlah implementasi backprop melainkan pengaturan arsitektur jaringan yang sesuai dengan bentuk data masukan Anda. Jika ingatanku, Nielsen meninggalkan backprop sebagai kotak hitam di bab 1 dan tidak menyelaminya sampai bab 2. Teruskan, dan semoga berhasil!

person jklaus    schedule 22.10.2017