Estimasi π menggunakan geometri, probabilitas, dan C#.

Meskipun nilai π yang paling akurat adalah 62,8 triliun digit (dan sebenarnya ada seseorang yang menghafal 111.700 digit tersebut) — kami akan menyederhanakannya, dan hanya menghitung 15 digit.

π adalah huruf pertama dari kata Yunani περίμετρος, yang artinya keliling. Itu angka yang tidak rasional, jadi kita harus memperkirakannya.

Pertama, kita akan menggunakan geometri: Kita akan menghitung estimasi hanya dengan menggunakan teorema Pythagoras. Kemudian, kita akan melihat metode Archimedes', yang menggunakan keliling poligon sebagai batas atas dan bawah untuk π. Dan terakhir, kita akan melihat dua pendekatan menarik lainnya yang menggunakan probabilitas, yaitu Monte Carlo dan Random Walks.

Mari kita mulai.

teori Pitagoras

Kami mulai dengan pendekatan sederhana. Untuk mendapatkanbatas bawah untuk π, kita menghitung keliling poligon beraturan yang dibatasi oleh lingkaran. Semakin banyak sisi yang kita perbanyak (n), keliling akan memberi kita perkiraan keliling yang lebih baik.

Titik awal kita adalah 6 sisi, dan kita mengalikan jumlah sisi dengan 2 pada setiap langkah: kita “membagi” setiap sisi (atau sudut) tepat di titik tengah, membuat poligon berikutnya dengan dua kali lebih banyak sisi (sama panjang), dan dengan demikian mendekati keliling lingkaran — yaitu 2π dalam kasus kita (R = 1).

Untuk menghitung sisi poligon berikutnya kita hanya menggunakan teorema Pythagoras, dua kali: kita menghitung tinggi (h), dan kemudian panjang tepi.

Saya menggambar gambar ini untuk memperjelas prosesnya:

Pertama, dengan segi enam, perkiraan kita untuk π adalah 6/2 = 3.

Setelah 11 iterasi kita mendapatkan poligon dengan 12.288 sisi, dan mendapatkan 7 digit pertama π dengan benar. Setelah 24 iterasi (100.663.296 sisi) kita mendapatkan 15 yang benar.

Selanjutnya, kita akan menggunakan dua poligon.

metode Archimedes

Archimedes (287–212 SM) menghitung batas atas dan bawah untuk π menggunakan fakta ini: Keliling terletak di antara keliling poligon di dalam dan di luar lingkaran.

Ketika jumlah sisi (n) bertambah, keliling-keliling ini menciptakan barisan yang monotonik bertambah dan berkurang menuju π.

Archimedes memulai dengan 6 sisi, dan dilanjutkan dengan 12, 24, 48, dan 96 sisi. Perkiraan akhirnya ditemukan dalam proposisi tiga dalam risalah Pengukuran Lingkaran:

Menariknya, dia tidak menyebutnya π. Simbol ini diperkenalkan hanya pada tahun 1706 oleh William Jones, seorang penulis Inggris, dalam bukunya a New Pengantar Matematika.

Perhitungan kita dimulai dengan segi enam: Segi enam bagian dalam memiliki keliling 6, dan bagian luarnya 4√3 (R = 1). Kita mendefinisikan pₙdan Pₙsebagai keliling poligon dalam dan luar dengan n sisi. Kami kemudian terus menggunakan:

Tingkat konvergensi tentu saja sama dengan pendekatan pertama.

Sekarang mari beralih ke probabilitas. Metode berikutnya tidak akan memberi kita perkiraan yang sangat akurat (batasnya melibatkan probabilitas), dan hanya untuk bersenang-senang.

Jalan Acak

Mari kita bayangkan sebuah jalan acak, di mana setiap langkah memiliki probabilitas yang sama untuk bergerak ke arah maju (+1) atau ke arah mundur (-1). Jika kita mulai dari lokasi 0, di manakah kita akan berakhir setelah n langkah? menurut teorema limit pusat, distribusi probabilitas akan mendekati distribusi normal.

Jika kita melihat nilai absolut dari jarak-jarak ini, kita mungkin berharap bahwa distribusinya akan menyerupai distribusi setengah normal, yang didefinisikan sebagai berikut: Jika X mengikuti distribusi normal dengan mean 0 dan deviasi standar σ, maka Y=|X| mengikuti distribusi setengah normal. Harapan Y diberikan oleh:

Secara lebih formal, jalan acak dengan n langkah adalah rangkaian variabel acak , dimulai dari 0, dengan kenaikan independen yang terdistribusi secara identik X₁, X₂,…Xₙ. Mari kita definisikan barisan {Xₜ}, sehingga:

Sangat mudah untuk melihat bahwa E[Xₜ] = 0 dan Var[Xₜ] = 1.

Sekarang kita mendefinisikan Sₙ = X₁ + … + Xₙ, vektor jarak kita dari titik asal setelah n langkah. Kami ingin melihat |Sₙ|. Kami menggunakan lemma berikut:

Kode:

Misalnya, dengan 3 kali percobaan pada 10.000 iterasi dan 100 langkah, kita mendapatkan perkiraan berikut: 3.135, 3.211, 3.142.

Monte Carlo

Misalkan sebuah lingkaran berjari-jari R, dibatasi oleh sebuah persegi dengan panjang rusuk a. Jika kita memilih n titik acak di dalam kotak ini, kita dapat memperkirakan bahwa rasio berikut: jumlah titik yang berada di dalam lingkaran dibagi dengan n, akan mendekati rasio luas: πR²/a².

Berdasarkan hukum bilangan besar dan teorema limit pusat, kita perkirakan perkiraan kita akan “turun” pada segmen yang lebih kecil di sekitar rasio sebenarnya seiring dengan meningkatnya n.

Untuk mempermudah, kita memilih R=1, a=2, dan hanya mempertimbangkan kuadran pertama.

Misalnya, dengan 3 kali percobaan pada 500.000 iterasi, kita mendapatkan perkiraan berikut: 3.143, 3.142, 3.143.

Tautan: