Часть III - Введение в инструмент междисциплинарной логики
Теперь, когда мы ознакомились с принципами теории логики, а также с основными обозначениями, пора исследовать концепцию эквивалентности в логике. В частности, что делает два составных помещения равными?
Две составные посылки X и Y являются логически эквивалентными, если для каждого присвоения значений истинности примитивным посылкам, составляющим X и Y, утверждения X и Y имеют одинаковую истинность. ценности.
Это определение сложно усвоить, но мы заботимся о его применении. Чтобы добиться этого, мы рассмотрим несколько усложняющихся примеров. Но сначала давайте сделаем небольшой обход, чтобы узнать немного больше о нашем Экскалибуре для этого путешествия - одном из самых простых, но мощных инструментов для логиков для доказательства логической эквивалентности: таблицы истинности.
Введение в таблицы истинности
Таблица истинности - это визуальный инструмент в виде диаграммы со строками и столбцами, который показывает истинность или ложность составной предпосылки. Это способ систематизировать информацию, чтобы перечислить все возможные сценарии из предоставленных предпосылок. Давайте начнем с самого простого примера, таблицы истинности, изображающей манипуляцию с одной предпосылкой: отрицание (~) примитивной предпосылки (P)
Таблицы истинности всегда читаются слева направо с примитивной предпосылкой в первом столбце. В приведенном выше примере наша примитивная предпосылка (P) находится в первом столбце; в то время как результирующая посылка (~ P) пост-отрицание составляет второй столбец.
Здесь легко переоценить ситуацию - не забывайте, что посылка - это просто утверждение, которое либо истинно, либо ложно. Поскольку в этом примере используется только единственная предпосылка, нам нужно отслеживать только два результата; в результате получаются две строки, когда P истинно или когда ложно. Первая строка описывает, читая слева направо, что если P истинно, то отрицание P ложно; вторая строка показывает, что если P уже ложно, то отрицание P истинно.
Давайте перейдем к более сложному примеру таблиц истинности в дикой природе, вставив связку, которую мы видели ранее: импликация (- ›). Чтобы сделать это немного более удобоваримым, давайте назначим нашим утверждениям P&Q некоторый контекст, прежде чем строить нашу таблицу истинности:
П: Танос щелкнул пальцами
В: исчезло 50% всего живого
Прежде чем смотреть ниже, продумайте эту структуру, учитывая подробности выше. Во-первых, поскольку у нас есть две примитивные предпосылки (P, Q), мы знаем, что нам понадобятся как минимум по крайней мере два столбца; кроме того, мы должны подготовиться к результирующей посылке с импликационной связкой (P - ›Q), для которой потребуется еще один столбец. Всего три столбца.
А что насчет строк? Поскольку у нас есть две предпосылки, каждая из которых может быть истинной или ложной, для учета всех возможных сценариев нам требуется всего четыре строки (PS - из этого наблюдения можно вывести изящное следствие: таблица истинности, которая учитывает N предпосылок, требует N² строк). Давайте теперь нарисуем эту таблицу и убедимся, что она понятна:
Просмотрите приведенную выше таблицу истинности построчно. Первая строка подтверждает, что Танос щелкнул пальцами (P), и 50% всего живого исчезло (Q). Поскольку обе посылки верны, то верна и результирующая посылка (импликация или условная):
Вторая строка столь же прямолинейна в понимании. На этот раз P по-прежнему верно, однако Q теперь false. Интерпретация здесь такова: «Танос щелкнул пальцами, но 50% всего живого не исчезло». Поскольку мы собираемся доказать обоснованность импликации, логично, что предыдущее утверждение делает общую предпосылку однозначно ложной:
Последние две строки немного более противоречивы. Здесь есть ярлык: нам нужно только посмотреть на первый столбец, чтобы убедиться, что значение истинно. В обеих строках 3 и 4 предшествующая посылка (P) ложь - - это все, что нам нужно знать, независимо от значения посылки Q, чтобы определить импликацию как истинно .
Почему ложное антецедент всегда приводит к истинному подтексту? Поскольку во вселенной нашего логического утверждения, поскольку предшествующее событие не произошло, невозможно исключить все возможные сценарии, которые могли вызвать Q. Например, строка 3 говорит, что «Танос сделал не щелкнуть пальцами, но все равно исчезло 50% всего живого ». Что ж, насколько нам известно, это исчезновение могло быть вызвано метеоритом, стихийным бедствием, вторжением инопланетян или множеством других действий - в любом из этих сценариев, независимо от того, в каком из них, последствия остаются верными, потому что мы до сих пор не можем доказать, что происходит, когда он щелкает пальцами.
Доказательство эквивалентности
Таблицы истинности - это удобные и удобные логические схемы, которые используются не только в математике, но и в информатике, электротехнике и философии. Обозначения могут отличаться в зависимости от отрасли, в которой вы работаете, но основные концепции остаются неизменными. Это универсальный междисциплинарный инструмент, но мы лишь прикоснулись к их полезности.
Теперь, когда мы снабжены таблицами истинности, пора перейти к доказательству эквивалентности между несколькими составными предпосылками. В следующей статье этой серии мы воспользуемся нашими знаниями о составных соединениях, чтобы доказать, что две различные составные посылки, такие как импликация и контрпозитив, равны.
изначально опубликовано
источники
