Оценки π с использованием геометрии, вероятности и C#.
В то время как наиболее точное значение π составляет 62,8 триллиона цифр (и на самом деле есть человек, который запомнил 111 700 из них) — мы будем упрощать и вычислять только 15 цифр.
π — первая буква греческого слова περίμετρος, означающего периметр. Это иррациональное число, поэтому мы должны его оценить.
Во-первых, мы будем использовать геометрию: мы рассчитаем оценку, используя только теорему Пифагора. Затем мы увидим метод Архимеда, использующий периметры многоугольников в качестве верхней и нижней границ для π. И, наконец, мы увидим два других интересных подхода, использующих вероятность, а именно Монте-Карло и случайные блуждания.
Давай начнем.
теорема Пифагора
Начнем с простого подхода. Чтобы получить нижнюю границу для π, мы вычисляем периметры правильных многоугольников, ограниченных окружностью. По мере увеличения количества сторон (n) периметры дадут нам более точную оценку длины окружности.
Наша отправная точка — 6 сторон, и с каждым шагом мы умножаем количество сторон на 2: мы «разделяем» каждую сторону (или угол) точно посередине, строим следующий многоугольник с вдвое большим (равным) числом сторон, и, таким образом, приблизиться к окружности круга, что в нашем случае равно 2π (R = 1).
Для вычисления стороны следующего многоугольника используем только теорему Пифагора, причем дважды: вычисляем высоту (h), а затем длину ребра.
Я нарисовал эту картинку, чтобы сделать процесс понятным:
Сначала для шестиугольника наша оценка π равна 6/2 = 3.
После 11 итераций мы получаем многоугольник с 12 288 сторонами, и первые 7 цифры числа π получаются правильными. После 24 итераций (100 663 296 сторон) мы получаем 15 правильных результатов.
Далее мы будем использовать два полигона.
Метод Архимеда
Архимед (287–212 гг. до н. э.) вычислил верхнюю и нижнюю границы для π, используя этот факт: длина окружности лежит между периметрами многоугольников внутри и снаружи круга.
По мере увеличения количества сторон (n) эти периметры создают последовательности, монотонно возрастающие и убывающие в направлении π.
Архимед начал с 6 сторон, а продолжил с 12, 24, 48 и 96 сторонами. Его окончательную оценку можно найти в предложении три в трактате Измерение круга:
Интересно, что он не назвал его π. Символ был введен только в 1706 году английским писателем Уильямом Джонсом в его книге Новое введение в математику.
Наш расчет начинается с шестиугольников: внутренний шестиугольник имеет периметр 6, а внешний 4√3 (R = 1). Мы определяем pₙи Pₙкак периметры внутреннего и внешнего многоугольников с n стороны. Затем мы продолжаем использовать:
Скорость сходимости, конечно, такая же, как и в первом подходе.
Теперь обратимся к вероятности. Следующие методы не дадут очень точной оценки (ограничения включают вероятность) и предназначены только для развлечения.
Случайная прогулка
Давайте представим случайное блуждание, где каждый шаг имеет равную вероятность быть в направлении вперед (+1) или в направлении назад (-1). Если мы начнем с точки 0, где мы окажемся после n шагов? согласно центральной предельной теореме, распределение вероятностей будет очень близко к нормальному распределению.
Если мы посмотрим на абсолютное значение этих расстояний, мы можем ожидать, что их распределение будет несколько похоже на полунормальное распределение, которое определяется следующим образом: если X соответствует нормальному распределению со средним значением 0 и стандартным отклонением σ, то Y=|Х| следует полунормальному распределению. Математическое ожидание Y определяется как:
Более формально, случайное блуждание с n шагами — это последовательность случайных величин , начинающаяся с 0, с независимыми одинаково распределенными приращениями X₁, X₂,… Xₙ. Давайте определим последовательность {Xₜ} так, чтобы:
Легко видеть, что E[Xₜ] = 0 и Var[Xₜ] = 1.
Теперь мы определяем Sₙ = X₁ + … + Xₙ, наш вектор расстояния от начала координат после n шагов. Мы хотим посмотреть на |Sₙ|. Воспользуемся следующей леммой:
Код:
Например, при 3 попытках по 10 000 итераций и 100 шагов получаем следующие оценки: 3,135, 3,211, 3,142.
Монте-Карло
Рассмотрим круг радиуса R, ограниченный квадратом с длиной ребра a. Если мы выберем n случайных точек внутри этого квадрата, мы можем разумно ожидать, что следующее соотношение: количество точек, попавших внутрь круга, деленное на n, будет близко к отношение площадей: πR²/a².
По закону больших чисел и центральной предельной теореме мы ожидаем, что наша оценка будет «падать» в меньшем сегменте вокруг фактического отношения по мере увеличения n.
Для простоты мы выбираем R=1, a=2 и рассматриваем только первый квадрант.
Например, при 3 попытках на 500 000 итераций получаем следующие оценки: 3,143, 3,142, 3,143.
Ссылки:
