Какую математическую функцию выполняет изменение формы?

Эта функция не имеет ничего общего с линейной алгеброй, это простой трюк с индексацией. Рассмотрим следующее (я буду использовать синтаксис MATLAB, но в Python, особенно используя NumPy/SciPy, он будет работать такой же):

A = [1 2 3; 4 5 6]; % 2-by-3 matrix
B = reshape(A,3,2); % B is 3-by-2
B =
     1     5
     4     3
     2     6

Итак, на самом деле у вас есть 6 индексов в A: от 1 до 6, в порядке столбцов. При изменении формы линейный стиль сохраняется, просто изменяется порядок. Линейно ваши элементы в порядке возрастания: 1 4 2 5 3 6, которые хранятся в непрерывной памяти. Своего рода «заголовок» сообщает программе, как формируются эти смежные элементы. Вот почему reshape почти бесплатна: она только изменяет заголовок.

Линейная алгебра не имеет к этому никакого отношения, это просто числовая уловка для облегчения некоторых задач программирования.

Для получения дополнительной информации о том, как работает индексирование в MATLAB, я рекомендую отличный вопрос/ответ.

Под капотом MATLAB преобразует A(2,2) в A(4), то есть четвертый линейный индекс, используя sub2ind() именно потому, что все хранится в виде линейного вектора. Все, что делает изменение формы, это сообщает заголовку, что элемент 3 больше не находится в A(1,2), а изменен на A(3,1), потому что его внешний вид изменился.

Согласно документации Python 1,2, он просто распутывает массив (поэтому делает t линейным одномерным вектором. Затем, используя индексацию, он возвращается в новый массив определенного размера. Например:

start_array = 
[1,2,3,4;
5,6,7,8;
9,10,11,12]

i_a = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12] %implicit, not visible for user

result_array = 
[i_a(1), i_a(6), i_a(11); 
i_a(5), i_a(10), i_a(4); 
i_a(9), i_a(3), i_a(8); 
i_a(2), i_a(7), i_a(12)]

Простейшая матрица, которую вы можете изменить, это 2x2, но вы поймете, что это такое. (Извините, StackOverflow не позволяет мне вставлять изображения или LaTex, так что вам придется немного помучаться, чтобы прочитать это.)

Мы начинаем с A=[[a,b],[c,d]] и хотим преобразовать его в массив 1x4: [[a,b,c,d]]. Вы можете сделать это алгебраически:

[[1,0]] * A * [[1,0,0,0],[0,0,0,0]] + 
[[1,0]] * A * [[0,0,0,0],[0,1,0,0]] + 
[[0,1]] * A * [[0,0,1,0],[0,0,0,0]] + 
[[0,1]] * A * [[0,0,0,0],[0,0,0,1]]

* обозначает умножение матриц.

Каждый термин является произведением соответствующих матриц: 1x2 * 2x2 * 2x4, что дает вам результат формы 1x4.

1-й термин дает вам [[a,0,0,0]], 2-й [[0,b,0,0]], 3-й [[0,0,c,0]] и 4-й [[0,0,0,d]].

Обобщить это на произвольный A формы nxm не должно быть слишком сложно. Вам понадобится n*m терминов вместо 4, так как ваша измененная матрица будет 1x(n*m). Каждый термин должен быть согласованным, поэтому вам понадобится матрица формы 1xn, чтобы попасть в A слева, и матрица формы mx(n*m), чтобы попасть в A справа.

Если вам нужно изменить форму A формы nxm в форму kxl, где k*l=n*m, вам нужно будет нажать A слева с матрицами kxn и справа с матрицами mx(k*l).