Рекурсивное перебор промисов

Вы можете добиться того, чего хотите, с помощью flatMap оператора Observable

getGroups(group: string) {

    return this.http.get(`/group/{group}`).flatMap(response => {
        if (response.children.length === 0) { // you hit a leaf, stop recursion here
             return Observable.of(response);
        } else { // there are more levels to go deeper
             return this.getGroups(response.children[0].groupName);
        }
    });
}

Редактировать с помощью Promise

Допустим, вы используете GroupService, который возвращает данные вместо HttpClient. Вы можете преобразовать Promise в Observable с помощью оператора fromPromise.

getGroups(group: string) {

    return Observable.fromPromise(this.groupService.get(group)).flatMap(response => {
        if (response.children.length === 0) { // you hit a leaf, stop recursion here
             return Observable.of(response);
        } else { // there are more levels to go deeper
             return this.getGroups(response.children[0].groupName);
        }
    });
}

Редактировать 2 Использование этой службы

Давайте посмотрим на ваш пример. У вас есть следующие json

{
    "groupName": "Group_1", 
    "children" : ["Group_A", "Group_B"]
}

В вашем файле компонента вы вызываете службу следующим образом

...
this.recursiveGroupService.getGroups("Group_1")
    .subscribe(response => {
        // at this point response will be `Group_A`
    })

Редактировать 3 Получение всего объекта

На этот раз мы будем использовать forkJoin и вызывать getGroups для всех дочерних элементов и собирать результаты в массив children.

Примечание. Я сам не тестировал этот код. Он может содержать некоторую ошибку. Если это так, дайте мне знать.

import { forkJoin, of } from 'rxjs';
import { map } from 'rxjs/operators';

getGroups(group: string) {
    let retVal;
    return Observable.fromPromise(this.groupService.get(group)).flatMap(response => {
        retVal = {
             groupName: response.groupName
        };
        if (response.children.length === 0) { // you hit a leaf, stop recursion here
             return of(retVal);
        } else { // there are more levels to go deeper
             // this will create list of observable for each child
             const children$ = response.children.map(
                       child => this.getGroups(child)); 
             // forkJoin will execute these observables in parallel
             return forkJoin(children$).pipe(
                  map(results => {
                      // results is an array containing children data
                      retVal.children = results;

                      return retVal;
                  })
             );
         }
    });
}

Вы можете использовать Promise.all для рекурсивного разрешения более глубоких дочерних элементов, а затем взять результат (массив) для создания объекта для разрешения обещания с помощью:

getGroups(groupName = "Group A") {
    return this.getGroupChildren(groupName).then((result) =>
        Promise.all(result.data.map( ({groupName}) => this.getGroups(groupName) ))
    ).then(children => ({ groupName, children }));
}

Таким образом, обещанное значение может быть примерно таким:

[{
    groupName: "Group A",
    children: [{
        groupName: "Group A1",
        children: []
    },  {
        groupName: "Group A2",
        children: []
    }]
}]