Почему путь неверен с gulp и синхронизацией браузера

Ваш стиль находится в папке tmp/styles. Когда ваш URL-адрес css установлен на ./images/landing.jpg, эта единственная точка просто означает просмотр в текущей папке. Таким образом, BrowserSync делает именно то, что вы просите, и ищет папку с изображениями внутри папки стилей. Итак, это ваш CSS неправильный, а не BrowserSync.

На самом деле вам нужно вернуться в родительский каталог папки стилей и найти там папку с изображениями, что выполняется с двумя точками:

background: url("../images/landing.jpg") no-repeat center;