Нужна ли мне учетная запись разработчика Apple для взаимодействия с Game Center?

Взаимодействие с игровым центром использует ваш appID, который настроен в вашей учетной записи разработчика. Длинный ответ, чтобы сказать, что да, вы делаете.

Просто чтобы внести ясность в отношении Apple, если вы хотите использовать определенный сервис, развернуть приложение, попробовать приложение на реальном устройстве и т. д., вам придется стать разработчиком Apple. Если вы не являетесь разработчиком, вы сможете попробовать свое приложение в симуляторе и в любом другом месте. Подводя итог, «что я могу сделать без учетной записи разработчика Apple».